읽고 말하기 수열

1. 개요2. 상세3. 성질

1. 개요 [편집]

look and say sequence · 읽고(보고) 말하기 數列, 개미 數列

1로 시작하여, 읽고 말하는 대로 다음 항을 도출하는 수열이다. 보고 말하기 수열이라고도 하며, 프랑스의 유명 소설가 베르나르 베르베르의 소설 <개미>에 등장한다고 하여 개미 수열이라고도 한다. 이 수열은 일상적 언어를 사용한 구술적인 방식으로 정의되기에, 엄밀한 수학적 표현으로 정의되는 여타 수열과 달리 일반항이나 점화식을 구하기 어렵다.

콘웨이의 생명 게임으로 유명한 존 호튼 콘웨이가 만들었다.

2. 상세 [편집]

읽고 말하기 수열을

L_n

(

n

은 자연수)[1]이라 하자.

L_1=1

이라 하고,

L_{n+1}

의 값은

L_n

의 값의 각 자릿값을 따지는데, 만약 '

a

개의

b

,

c

개의

d

...'가 된다면

abcd

[2] 식으로 모든 수를 붙여서 나타낸다. 단, 큰 자리부터 개수를 세되, 자릿수의 값이 달라지면 세기를 중단하고 그 달라진 수의 개수를 센다. 또한, 각 자릿수에 전혀 등장하지 않는 수는 '0개의 1' 따위로 세는 것이 아니고 아예 표시하지 않는다. 그러면 읽고 말하기 수열은 다음과 같이 된다. 말로만 설명해서는 이해가 어려울 것이니 직접 수열을 보라.

$n$	$L_n$
$1$	$1$
$2$	$11$ [3]
$3$	$21$ [4]
$4$	$1211$ [5]
$5$	$111221$ [6]
$6$	$312211$ [7]
$7$	$13112221$ [8]
$8$	$1113213211$ [9]
⋮	⋮

이 경우 읽고 말하기 수열의 일의 자리는 항상

1

이다.

L_{1}=1

인 이상 마지막에는 '

1

'의 개수를 셀 수밖에 없고, '

n

개의

1

'이 되어 '

n1

' 꼴로 표기가 끝날 수밖에 없다.

혹은, '

a

개의

b

'가 아니라 '

b

가

a

개' 식으로 나타낼 수도 있다. 그러면 읽고 말하기 수열은 다음과 같이 된다.

$n$	$L_n$
$1$	$1$
$2$	$11$ [10]
$3$	$12$ [11]
$4$	$1121$ [12]
$5$	$122111$ [13]
$6$	$112213$ [14]
$7$	$12221131$ [15]
$8$	$1123123111$ [16]
⋮	⋮

이 경우, 수열의 각 항의 자릿수의 배열이 모두 역순이 되므로 맨 앞 자리가 항상 1이 된다.

3. 성질 [편집]

각 자릿수의 값이 몇 개인지 세어 그것을 다음 항의 표기에 반영하므로, 한 번 출현한 자릿수는 영원히 그 수열에서 사라지지 않는다. 예를 들어 한 번

3

이 어떤 항의 어떤 자릿수에 출현하면,

3

이 몇 개인지 세어 '

n

개의

3

' 또는 '

3

이

n

개' 식으로 그 바로 다음 항의 표기에 반영하므로,

3

이 다음 항의 적어도 하나 이상의 자릿수에 출현하게 된다. 그렇다면 그 다음의 항도, 또 그 다음의 항도 마찬가지임은 자명하다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

임의의 자연수

m

,

n

과

0\leq{a}\leq{9}

인 정수

a

에 대하여,

L_n

의 적어도 하나 이상의 자릿수에

a

가 출현한다면,

m

의 값에 관계없이

L_{n+m}

의 적어도 하나 이상의 자릿수에

a

가 출현한다.

[1] 영어 'Look and Say sequence'의 첫 글자를 땄다.[2] 여기에서

abcd

란

a×b×c×d

의 의미가 아니다. 만약

a=1, b=2, c=3, d=4

라면

abcd=1234

가 되는 식이다.[3]

1

은 '1개의 1'이다.[4]

11

은 '2개의 1'이다.[5]

21

은 '1개의 2, 1개의 1'이다.[6]

1211

은 '1개의 1, 1개의 2, 2개의 1'이다.[7]

111221

은 '3개의 1, 2개의 2, 1개의 1'이다.[8]

312211

은 '1개의 3, 1개의 1, 2개의 2, 2개의 1'이다.[9]

13112221

은 '1개의 1, 1개의 3, 2개의 1, 3개의 2, 1개의 1이다.[10]

1

은 '1이 1개'이다.[11]

11

은 '1이 2개'이다.[12]

12

는 '1이 1개, 2가 1개'이다.[13]

1121

은 '1이 2개, 2가 1개, 1이 1개'이다.[14]

122211

은 '1이 1개, 2가 2개, 1이 3개'이다.[15]

112213

은 '1이 2개, 2가 2개, 1이 1개, 3이 1개'이다.[16]

12221131

은 '1이 1개, 2가 3개, 1이 2개, 3이 1개, 1이 1개'이다.